设函数f(x)在[0，+∞)内二阶可导，且f(0)=f’(0)=0，并当x＞0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x．证明当x＞0时，f(x)＜x2．

admin2016-01-15 47

问题设函数f(x)在[0，+∞)内二阶可导，且f(0)=f’(0)=0，并当x＞0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]²≤1一e^—x．证明当x＞0时，f(x)＜

x²．

选项

答案由泰勒公式及已知条件得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*]，其中，x＞0，0＜ξ＜x．现只需证f"(x)＜1(x＞0)．由题设条件有 [*] 令 F(x)=x一(1一e^—x)=x+e^—x一1．故有 F(0)=0，F’(x)=1一e^—x＞0(x＞0)．所以F(x)在[0，+∞)单调增加，故F(x)＞F(0)=0(x＞0)．即 [*]

解析

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考研数学一

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