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设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且f(0)=f’(0)=0,并当x>0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x.证明当x>0时,f(x)<x2.
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且f(0)=f’(0)=0,并当x>0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]2≤1一e—x.证明当x>0时,f(x)<x2.
admin
2016-01-15
47
问题
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且f(0)=f’(0)=0,并当x>0时满足xf"(x)+3x[f’(x)]
2
≤1一e
—x
.证明当x>0时,f(x)<
x
2
.
选项
答案
由泰勒公式及已知条件得 f(x)=f(0)+f’(0)x+[*], 其中,x>0,0<ξ<x. 现只需证f"(x)<1(x>0).由题设条件有 [*] 令 F(x)=x一(1一e
—x
)=x+e
—x
一1. 故有 F(0)=0,F’(x)=1一e
—x
>0(x>0). 所以F(x)在[0,+∞)单调增加,故F(x)>F(0)=0(x>0).即 [*]
解析
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考研数学一
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