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  3. 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求： (Ⅰ)系数A； (Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数； (Ⅲ)边缘概率密度； (Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．

设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 求： (Ⅰ)系数A； (Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数； (Ⅲ)边缘概率密度； (Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．

admin2018-04-15  28
问题 设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为

求：
(Ⅰ)系数A；
(Ⅱ)(X，Y)的联合分布函数；
(Ⅲ)边缘概率密度；
(Ⅳ)(X，Y)落在区域R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6内的概率．
选项
答案(Ⅰ)根据分布函数的性质 [*] 解得A=6． (Ⅱ)将A=6代入得(X，Y)的联合概率密度为 [*] 所以当x＞0，y＞0时， F(x，y)=∫0y∫0x6e一(2x+3y)dxdy =6∫0xe一2xdx∫0ye一3ydy =(1一e一2x)(1一e一3y)， 而当x和y取其它值时，F(x，y)=0． 综上所述，可得联合概率分布函数为 [*] (Ⅲ)当x＞0时，X的边缘密度为 fX(x)=∫0+∞6e一(2x+3y)dy=2e一2x， 当x≤0时fZ(x)=0．因此X的边缘概率密度为 [*] 同理，可得Y的边缘概率密度函数为 [*] 已知R：x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为 [*]
解析
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考研数学一

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