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  3. 若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．

若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．

admin2021-01-19  151
问题 若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．
选项
答案由A的特征多项式 [*] =(λ一6)(λ2—4λ一 12)=(λ一 6)2(λ+2) 得A的特征值为λ1=λ2=6，λ3=一2． 因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量 [*]3一秩(6E一A)=2 [*]秩(6E一A)=1 从而由 [*] 知a=0，且由此可得对应于λ1=λ2=6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ3=一2，由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ3=(1，一2，0)T． 于是ξ1，ξ2，ξ3就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵 P=[ξ1，ξ2，ξ3]=[*] 则P可逆，且使P一1AP=[*]为对角矩阵．
解析
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考研数学二

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