若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．

admin2021-01-19 110

问题若矩阵A=

相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P^一1AP=Λ．

选项

答案由A的特征多项式 [*] =(λ一6)(λ²—4λ一 12)=(λ一 6)²(λ+2) 得A的特征值为λ₁=λ₂=6，λ₃=一2．因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量 [*]3一秩(6E一A)=2 [*]秩(6E一A)=1 从而由 [*] 知a=0，且由此可得对应于λ₁=λ₂=6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ₃=一2，由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ₃=(1，一2，0)^T．于是ξ₁，ξ₂，ξ₃就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵 P=[ξ₁，ξ₂，ξ₃]=[*] 则P可逆，且使P^一1AP=[*]为对角矩阵．

解析

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考研数学二

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若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．

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已知A是三阶实对称矩阵，特征值是1，3，—2，其中α1=(1，2，—2)T，α2=(4，—1，a)T分别是属于特征值λ=1与λ=3的特征向量，那么矩阵A属于特征值λ=—2的特征向量是________。

已知α=(a，1，1)T是矩阵A=的逆矩阵的特征向量，则a=________。

已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。

微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是____________．

设函数y=y(x)由方程组

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

设A是3×4阶矩阵且r(A)＝1，设(1，－2，1，2)T，(1，0，5，2)T，(－1，2，0，1)T，(2，－4，3，a＋1)T皆为AX＝0的解．(1)求常数a；(2)求方程组AX＝0的通解．

设f(x)为连续函数，试证明：若f(x)为奇函数，则f(x)的一切原函数均为偶函数；若f(x)为偶函数，则有且仅有一个原函数为奇函数．

设试补充定义f(1)，使得f(x)在[1/2，1]上连续．

(2009年试题，18)设非负数函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy’’一y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．

内脏损伤后，防治休克的措施是

患者，男，42岁。患慢性阑尾炎3年，经常反复发作，发时右下腹隐隐疼痛，痛处固定不移，腹皮微急，伴轻度恶心欲吐，便干溲黄，舌苔薄黄，脉弦。治疗应首选（　　）。

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飞机库的每个防火分区至少应有两个直通室外的安全出口，其最远工作地点到安全出口的距离不应大于()m。

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已知α=(a，1，1)T是矩阵A=的逆矩阵的特征向量，则a=________。

已知矩阵有两个线性无关的特征向量，则a=______。

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设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

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