若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P一1AP=Λ．

admin2021-01-19 105

问题若矩阵A=

相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使P^一1AP=Λ．

选项

答案由A的特征多项式 [*] =(λ一6)(λ²—4λ一 12)=(λ一 6)²(λ+2) 得A的特征值为λ₁=λ₂=6，λ₃=一2．因为A只有一个重特征值6(二重)，所以，A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E一A)x=0的基础解系含2个向量 [*]3一秩(6E一A)=2 [*]秩(6E一A)=1 从而由 [*] 知a=0，且由此可得对应于λ₁=λ₂=6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ₃=一2，由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ₃=(1，一2，0)^T．于是ξ₁，ξ₂，ξ₃就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵 P=[ξ₁，ξ₂，ξ₃]=[*] 则P可逆，且使P^一1AP=[*]为对角矩阵．

解析

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考研数学二

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