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(2003年试题,十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2b+3c=0l2:bx+2cy+3a=0l3:cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0
(2003年试题,十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2b+3c=0l2:bx+2cy+3a=0l3:cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0
admin
2019-08-01
45
问题
(2003年试题,十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l
1
:ax+2b+3c=0l
2
:bx+2cy+3a=0l
3
:cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0
选项
答案
由题设,三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组[*](1)有唯一解,下面先证必要性,设系数矩阵为A,增广矩阵为B,则[*]方程组(1)有唯一解,则r(A)=r(B)=2,因而|B|=0,即[*]=3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
]=0由已知3条直线不相同,从而(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0,因此a+b+c=0至此,必要性得证;再证充分性,由于a+b+c=0,则|B|=0,因此r(B)≤2,又因为[*]由此r(A)=2,所以r(A)=r(B)=2,则方程组(1)有唯一解,也即三条直线交于一点,充分性得证.
解析
本题的另外一种证法:(1)必要性:设三条直线交于一点(x
o
,y
o
),则
是A
x
=0的非零解,其中
因此|A|=0,即|A|=一3(a+b+c)[(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
],由于(a一b)
2
+(b一c)
2
+(c一a)
2
≠0,知a+b+c=0(2)充分性:由方程组
的三个方程相加,并结合a+b+c=0,知上述方程等价于以下方程组
由于
=一[a
2
+2ab+b
2
+a
2
+b
2
]=一[(a+b)
2
+a
2
+b
2
]≠0,因此原方程组解唯一,从而三条直线交于一点.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/3PN4777K
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