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  3. (2003年试题，十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2b+3c=0l2：bx+2cy+3a=0l3：cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0

(2003年试题，十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2b+3c=0l2：bx+2cy+3a=0l3：cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0

admin2019-08-01  106
问题 (2003年试题，十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2b+3c=0l2：bx+2cy+3a=0l3：cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0
选项
答案由题设，三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组[*]（1）有唯一解，下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广矩阵为B，则[*]方程组(1)有唯一解，则r(A)=r(B)=2，因而｜B｜=0，即[*]=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]=0由已知3条直线不相同，从而(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，因此a+b+c=0至此，必要性得证；再证充分性，由于a+b+c=0，则｜B｜=0，因此r(B)≤2，又因为[*]由此r(A)=2，所以r(A)=r(B)=2，则方程组(1)有唯一解，也即三条直线交于一点，充分性得证．
解析 本题的另外一种证法：(1)必要性：设三条直线交于一点(xo，yo)，则是Ax=0的非零解，其中因此｜A｜=0，即｜A｜=一3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]，由于(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，知a+b+c=0(2)充分性：由方程组的三个方程相加，并结合a+b+c=0,知上述方程等价于以下方程组由于=一[a2+2ab+b2+a2+b2]=一[(a+b)2+a2+b2]≠0，因此原方程组解唯一，从而三条直线交于一点．
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考研数学二

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