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设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且存在常数k>0,使得|f’(x)|≤k|f(x)|在[0,+∞)上成立,则在(0,+∞)上( )。
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且存在常数k>0,使得|f’(x)|≤k|f(x)|在[0,+∞)上成立,则在(0,+∞)上( )。
admin
2021-07-15
15
问题
设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,且存在常数k>0,使得|f’(x)|≤k|f(x)|在[0,+∞)上成立,则在(0,+∞)上( )。
选项
A、仅当0<k<1时,f(x)恒为零
B、仅当k>1时,f(x)横不为零
C、当k=1时,f(x)不恒为零
D、k为任意正常数时,f(x)均恒为零
答案
D
解析
设x
0
∈
,使得|f(x
0
|是|f(x)|在
上的最大值,由拉格朗日中值定理,
f(x
0
)-f(0)=f’(ξ)(x
0
-0),其中ξ∈(0,x
0
)
,即
|f(x
0
)|=|f(0)+f’(ξ)x
0
|=|f’(ξ)|x
0
≤k|f(ξ)|
≤k|f(x
0
)|·
|f(x
0
)|
故|f(x
0
)|=0,由此可知,0≤|f(x)|≤|f(x
0
)|≤0,也即当x∈
时,f(x)恒为零。
同理,设x
1
∈
,使得|f(x
1
)|是|f(x)|在
上的最大值,由拉格朗日中值定理,
f(x
1
)-
=f’(ξ
1
)(x
1
-
),ξ
1
∈(
,x
1
)
=0,即
|f(x
1
)|=|
+f’(ξ
1
)(x
1
-
)|=|f’(ξ
1
)|·(x
1
-
)≤k·|f(x
1
|·
|f(x
1
)|,
故|f(x
1
|=0,也即当x∈
时,f(x)亦恒为零,依此递推下去,对x∈
,n-1,2,....,均有f(x)恒为零,故选D.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Bhy4777K
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考研数学二
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