设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明： (1)λ≠0； (2)为A一1的特征值，且x为对应的特征向量； (3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．

admin2017-04-23 36

问题设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：
(1)λ≠0；
(2)

为A^一1的特征值，且x为对应的特征向量；
(3)

为A^*的特征值，且x为对应的特征向量．

选项

答案若λ=0，则有|0E一A|=0，即(一1)ⁿ|A|=0，[*]|A|=0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Ax=λx两端右乘A^一1，得λA^一1x=x，两端同乘[*]为A^一1的一个特征值，且x为对应的特征向量；因A^一1=|A|A^*，代入A^一1x=[*]为A^*的一个特征值，且x为对应的特征向量．

解析

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