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设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明:存在ξ∈(a,b)使f’(ξ)/g’(ξ)+∫aξf(t)dt/∫ξbf(t)dt=0.
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明:存在ξ∈(a,b)使f’(ξ)/g’(ξ)+∫aξf(t)dt/∫ξbf(t)dt=0.
admin
2022-10-12
69
问题
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且f(a)=g(b)=0,g’(x)<0,试证明:存在ξ∈(a,b)使f’(ξ)/g’(ξ)+∫
a
ξ
f(t)dt/∫
ξ
b
f(t)dt=0.
选项
答案
令φ(x)=f(x)∫
x
b
g(t)dt+g(x)∫
a
x
f(t)dt,则φ(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,且φ’(x)=[f’(x)∫
x
b
g(t)dt-f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫
a
x
f(t)dt]=f’(x)∫
x
b
g(t)dt+g’(x)∫
a
x
f(t)dt,因为φ(a)=φ(b)=0,所以由罗尔定理,存在ξ∈(a,b)使φ’(ξ)=0,即f’(ξ)∫
ξ
b
g(t)dt+g’(ξ)∫
a
ξ
f(t)dt=0,由于g(b)=0及g’(x)<0,所以区间(a,b)内必有g(x)>0,从而就有∫
x
b
g(t)dt>0,于是有f’(x)/f’(x)+∫
a
ξ
f(t)dt/∫
ξ
b
g(t)dt=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/DzC4777K
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考研数学三
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