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设f(χ,y),g(χ,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(χ,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得(χ,y)g(χ,y)dσ=f(ξ,η)g(χ,y)dσ.
设f(χ,y),g(χ,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(χ,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得(χ,y)g(χ,y)dσ=f(ξ,η)g(χ,y)dσ.
admin
2019-03-21
83
问题
设f(χ,y),g(χ,y)在平面有界闭区域D上连续,且g(χ,y)≥0.证明:存在(ξ,η)∈D,使得
(χ,y)g(χ,y)dσ=f(ξ,η)
g(χ,y)dσ.
选项
答案
因为f(χ,y)在D上连续,所以f(χ,y)在D上取到最大值M和最小值m,故 mg(χ,y)≤f(χ,y)g(χ,y)≤Mg(χ,y) 积分得 [*] (1)当[*]g(χ,y)dσ=0时,[*]f(χ,y)g(χ,y)dσ=0,则对任意的(ξ,η)∈D,有 [*](χ,y)g(χ,y)dσ=f(ξ,η)[*](χ,y)dσ (2)当[*]g(χ,y)>0时, [*] 由介值定理,存在(ξ,η)∈D,使得 [*] 即[*]f(χ,y)g(χ,y)dσ=f(ξ,η)[*](χ,y)dσ.
解析
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考研数学二
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