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(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b) 一f(a)=f’(ξ)(b一a). (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f’(x)=A,则f+’(0
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b) 一f(a)=f’(ξ)(b一a). (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f’(x)=A,则f+’(0
admin
2017-04-24
84
问题
(Ⅰ)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b) 一f(a)=f’(ξ)(b一a).
(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且
f’(x)=A,则f
+
’
(0)存在,且f
x
’
(0)=A.
选项
答案
(Ⅰ)取F(x)=f(x)一[*] 由题意知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 [*] 根据罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得F’(ξ)=[*]=0,即 f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a). (Ⅱ)对于任意的t∈(0,δ),函数f(x)在[0,t]上连续,在(0,t)内可导,由右导数定义及拉格朗日中值定理 [*] 故f
+
’
(0)存在,且f
+
’
(0)=A.
解析
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考研数学二
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