证明不等式3x＜tan x﹢2sin x，x∈

admin2019-01-22 70

问题证明不等式3x＜tan x﹢2sin x，x∈

选项

答案设 f(x)﹦tan x﹢2sin x－3x，x∈[*] 则有 f^’(x)﹦sec²x﹢2cos x－3，f^”(x)﹦2 sec²xtan x－2sin x﹦2sin x(sec³x－1)，由于当x∈[*]时，sin x＞0，sec³x－1＞0，所以f^”(x)＞0，函数f^’(x)﹦sec²x﹢2eos x－3为增函数。f^’(0)﹦0，因此当x∈[*]时，f^’(x)＞0，所以f(x)﹦tan x﹢2sin x－3x为增函数，f(x)﹦tan x﹢2sin x÷3x≥f(0)﹦0，x∈[*]，移项后得 3x＜tan x﹢2sin x，x∈[*] 本题考查不等式的证明。考生可将不等号两边的函数相减，从而构造辅助函数，根据辅助函数的单调性证明不等式。

解析

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