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两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．
两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．
admin
2019-05-08
50
问题
两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．
选项
答案
解一 设T的分布函数为F(t)，则F(t)=P(T≤t)．又设第i台记录仪无故障工作的时间为X
i
(i=1，2)，则T=X
1
+X
2
是X
1
，X
2
的函数．为求f(t)，需先根据分布函数的定义求出F(t)．因X
1
，X
2
相互独立，且同服从于参数为5的指数分布，由 [*] 得到 [*] 当t＞0时，有 [*] 当t＜0时，F(t)=P(T≤t)=0．综上所述，得到 [*] 则 [*] 因X
i
服从参数λ=5的指数分布，则 E(X
i
)=1／5，D(X
i
)=1／25(i=1，2)． E(T)=E(X
1
+X
2
)=E(X
1
)+E(X
2
)=2／5， 又X
1
与X
2
独立，故D(T)=D(X
1
+X
2
)W=D(X
1
)+D(X
2
)=2／25． 解二 用卷积公式求之． [*] 而 [*] 当t≤0时，因积分中x
1
≥0，故t－x
1
≤0，所以f
X
1
(t－x
1
)=0．则f(t)=0． 当t＞0时，若t>x
1
>0，则[*]故 [*] 下同解一(略)．
解析
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0
考研数学三
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