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两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布.首先开动其中一台,当其发生故障时停用,而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.
两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布.首先开动其中一台,当其发生故障时停用,而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.
admin
2019-05-08
43
问题
两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布.首先开动其中一台,当其发生故障时停用,而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.
选项
答案
解一 设T的分布函数为F(t),则F(t)=P(T≤t).又设第i台记录仪无故障工作的时间为X
i
(i=1,2),则T=X
1
+X
2
是X
1
,X
2
的函数.为求f(t),需先根据分布函数的定义求出F(t).因X
1
,X
2
相互独立,且同服从于参数为5的指数分布,由 [*] 得到 [*] 当t>0时,有 [*] 当t<0时,F(t)=P(T≤t)=0.综上所述,得到 [*] 则 [*] 因X
i
服从参数λ=5的指数分布,则 E(X
i
)=1/5,D(X
i
)=1/25(i=1,2). E(T)=E(X
1
+X
2
)=E(X
1
)+E(X
2
)=2/5, 又X
1
与X
2
独立,故D(T)=D(X
1
+X
2
)W=D(X
1
)+D(X
2
)=2/25. 解二 用卷积公式求之. [*] 而 [*] 当t≤0时,因积分中x
1
≥0,故t-x
1
≤0,所以f
X
1
(t-x
1
)=0.则f(t)=0. 当t>0时,若t>x
1
>0,则[*]故 [*] 下同解一(略).
解析
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考研数学三
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