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  3. 两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．

admin2019-05-08  57
问题 两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差．
选项
答案解一 设T的分布函数为F(t)，则F(t)=P(T≤t)．又设第i台记录仪无故障工作的时间为Xi(i=1，2)，则T=X1+X2是X1，X2的函数．为求f(t)，需先根据分布函数的定义求出F(t)．因X1，X2相互独立，且同服从于参数为5的指数分布，由 [*] 得到 [*] 当t＞0时，有 [*] 当t＜0时，F(t)=P(T≤t)=0．综上所述，得到 [*] 则 [*] 因Xi服从参数λ=5的指数分布，则 E(Xi)=1／5，D(Xi)=1／25(i=1，2)． E(T)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=2／5， 又X1与X2独立，故D(T)=D(X1+X2)W=D(X1)+D(X2)=2／25． 解二 用卷积公式求之． [*] 而 [*] 当t≤0时，因积分中x1≥0，故t－x1≤0，所以fX1(t－x1)=0．则f(t)=0． 当t＞0时，若t>x1>0，则[*]故 [*] 下同解一(略)．
解析
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考研数学三

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