两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布.首先开动其中一台,当其发生故障时停用,而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.

admin2019-05-08  31

问题 两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布.首先开动其中一台,当其发生故障时停用,而另一台自动开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差.

选项

答案解一 设T的分布函数为F(t),则F(t)=P(T≤t).又设第i台记录仪无故障工作的时间为Xi(i=1,2),则T=X1+X2是X1,X2的函数.为求f(t),需先根据分布函数的定义求出F(t).因X1,X2相互独立,且同服从于参数为5的指数分布,由 [*] 得到 [*] 当t>0时,有 [*] 当t<0时,F(t)=P(T≤t)=0.综上所述,得到 [*] 则 [*] 因Xi服从参数λ=5的指数分布,则 E(Xi)=1/5,D(Xi)=1/25(i=1,2). E(T)=E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=2/5, 又X1与X2独立,故D(T)=D(X1+X2)W=D(X1)+D(X2)=2/25. 解二 用卷积公式求之. [*] 而 [*] 当t≤0时,因积分中x1≥0,故t-x1≤0,所以fX1(t-x1)=0.则f(t)=0. 当t>0时,若t>x1>0,则[*]故 [*] 下同解一(略).

解析
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