设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T都是齐次线性方程组AX=0的解． (1)求A的特征值和特征向量． (2)求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得 QTAQ=A． (3)

admin2017-08-07 56

问题设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一1，1)^T都是齐次线性方程组AX=0的解．
(1)求A的特征值和特征向量．
(2)求作正交矩阵Q和对角矩阵A，使得
Q^TAQ=A．
(3)求A及[A一(3／2)E]⁶．

选项

答案(1)条件说明A(1，1，1)^T=(3，3，3)^T，即α₀=(1，1，1)^T是A的特征向量，特征值为3．又α₁，α₂都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量，特征值为0．由于α₁，α₂线性无关，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为3，0，0．属于3的特征向量：cα₀，c≠0．属于0的特征向量：c₁α₁+c₂α₂ c₁，c₂不都为0． [*] 作Q=(η₀，η₁，η₂)，则Q是正交矩阵，并且 [*] (3)建立矩阵方程A(α₀，α₁，α₂)=(3α₀，0，0)，用初等变换法求解： [*] [A一(3／2)E]⁶=(3／2)⁶E．

解析

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