2. 考研
  3. (2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

(2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． 验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

admin2013-12-27  48
问题 (2007年试题，22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一1，且α1=(1，一1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
选项
答案由Aα=λα和Anα=λnα，则Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1故由此知，α1是矩阵B属于特征值μ1=一2的特征向量．同理可得，曰的另外两个特征值为μ2=μ3=1，设其对应的特征向量为α=(x1，x2，x3)T，则因为A是实对称矩阵，知曰也是实对称矩阵，所以有：α1Tα=x1一x2+x3=0即矩阵B属于特征值μ2=μ3=1的线性无关的特征向量可取为α2=(1，1，0)T，α3=(一1，0，1)T．故综上知：B的特征值μ1=一2，对应的全部特征向量为k1(1，一1，1)T，k1是不为零的常数，另外两个特征值μ=μ=1，对应的全部特征向量为后k2(1，1，0)T+k3(一1，0，1)T，其中k2，k3是不全为零的常数．
解析
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考研数学一

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