(2007年试题,22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

admin2013-12-27  26

问题 (2007年试题,22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

选项

答案由Aα=λα和Anα=λnα,则Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α11=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1故由此知,α1是矩阵B属于特征值μ1=一2的特征向量.同理可得,曰的另外两个特征值为μ23=1,设其对应的特征向量为α=(x1,x2,x3)T,则因为A是实对称矩阵,知曰也是实对称矩阵,所以有:α1Tα=x1一x2+x3=0即矩阵B属于特征值μ23=1的线性无关的特征向量可取为α2=(1,1,0)T,α3=(一1,0,1)T.故综上知:B的特征值μ1=一2,对应的全部特征向量为k1(1,一1,1)T,k1是不为零的常数,另外两个特征值μ=μ=1,对应的全部特征向量为后k2(1,1,0)T+k3(一1,0,1)T,其中k2,k3是不全为零的常数.

解析
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