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(2007年试题,22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
(2007年试题,22)设3阶对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一1,且α1=(1,一1,1)T是A的属于λ1的一个特征向量,记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
admin
2013-12-27
22
问题
(2007年试题,22)设3阶对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=一1,且α
1
=(1,一1,1)
T
是A的属于λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
一4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;
选项
答案
由Aα=λα和A
n
α=λ
n
α,则Bα
1
=(A
5
一4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
一4A
3
α
1
+α
1
=(λ
1
5
一4λ
1
3
+1)α
1
=一2α
1
故由此知,α
1
是矩阵B属于特征值μ
1
=一2的特征向量.同理可得,曰的另外两个特征值为μ
2
=μ
3
=1,设其对应的特征向量为α=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则因为A是实对称矩阵,知曰也是实对称矩阵,所以有:α
1
T
α=x
1
一x
2
+x
3
=0即矩阵B属于特征值μ
2
=μ
3
=1的线性无关的特征向量可取为α
2
=(1,1,0)
T
,α
3
=(一1,0,1)
T
.故综上知:B的特征值μ
1
=一2,对应的全部特征向量为k
1
(1,一1,1)
T
,k
1
是不为零的常数,另外两个特征值μ=μ=1,对应的全部特征向量为后k
2
(1,1,0)
T
+k
3
(一1,0,1)
T
,其中k
2
,k
3
是不全为零的常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/oC54777K
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考研数学一
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