若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C1，+Cxx)ex，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是y=_________．

admin2019-02-21 69

问题若二阶常系数线性齐次微分方程y"+ay’+by=0的通解为y=(C₁，+C_xx)e^x，则非齐次方程y"+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的解是y=_________．

选项

答案y=x(1一e^x)+2

解析由已知y=(C₁+C₂x)e^x是齐次方程的通解可知，r=1是齐次方程特征方程二重根，则特征方程为(r一1)²=0，即r²一2r+1=0．则a=一2，b=1．
设非齐次方程的一个特解为y=Cx+d，将之代入原方程得y^*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C₁+C₂x)e^x+x+2．
由y(0)=2，y’(0)=0得

则C₁=0，C₂=一1．
因此满足条件的解为y=一xe^x+x+2=z(1一e^x)+2．

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考研数学一

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