设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫abf(x)dx∫xbf(y)dy=1/2[∫abf(x)dx]2.

admin2022-08-19 43

问题设f(x)在[a，b]上连续，证明：∫_a^bf(x)dx∫_x^bf(y)dy=1/2[∫_a^bf(x)dx]².

选项

答案令F(x)=∫_a^xf(t)dt，则∫_a^bf(x)dx∫_x^bf(y)dy=∫_a^bf(x)[F(b)-F(x)]dx =F(b)|f(x)dx-∫_a^bf(x)F(x)dx=F²(b)-∫_a^bF(x)dF(x) =F²(b)-(1/2)F²(x)|_a^b=1/2F²(b)=1/2[∫_a^bf(x)dx]².

解析

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考研数学三

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