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[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．
[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．
admin
2019-04-28
25
问题
[2007年] 设向量组α
1
，α
2
，α
3
线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．
选项
A、α
1
一α
2
，α
2
一α
3
，α
3
一α
1
B、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
1
C、α
1
—2α
2
，α
2
—2α
3
，α
3
—2α
1
D、α
1
+2α
2
，α
2
+2α
3
，α
3
+2α
1
答案
A
解析
解一 用观察易知，选项(A)中向量有关系(α
1
－α
2
)+(α
2
－α
3
)+(α
3
－α
1
)=0，故(A)中向量线性相关．
解二 由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．
(注：命题2．3．2．3 已知向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关，设β
1
=α
1
±α
2
，β
2
=α
2
±α
3
，…，β
s-1
=α
s-1
±α
s
，β
s
=α
s
±α
1
，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关．)
解三 用线性相关的定义判定．为此令
x
1
(α
1
－α
2
)+x
2
(α
2
－α
3
)+x
3
(α
3
－α
1
)=0，
即 (x
1
－x
3
)α
1
+(－x
1
+x
2
)α
2
+(－x
2
+x
3
)α
3
=0．
因α
1
，α
2
，α
3
线性无关，故
因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α
1
－α
2
，α
2
－α
3
，α
3
－α
1
线性相关．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BzJ4777K
0
考研数学三
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