[2007年] 设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．

admin2019-04-28 23

问题 [2007年] 设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．

选项 A、α₁一α₂，α₂一α₃，α₃一α₁
B、α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁
C、α₁—2α₂，α₂—2α₃，α₃—2α₁
D、α₁+2α₂，α₂+2α₃，α₃+2α₁

答案A

解析解一  用观察易知，选项(A)中向量有关系(α₁－α₂)+(α₂－α₃)+(α₃－α₁)=0，故(A)中向量线性相关．
解二  由命题2．3．2．3判别之．s=3为奇数，k=3也为奇数，故(A)中向量线性相关．
(注：命题2．3．2．3  已知向量组α₁，α₂，…，α_s(s≥2)线性无关，设β₁=α₁±α₂，β₂=α₂±α₃，…，β_s-1=α_s-1±α_s，β_s=α_s±α₁，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β₁，β₂，…，β_s线性相关；(2)当s与k的奇偶性不同时，向量组β₁，β₂，…，β_s线性无关．)
      解三  用线性相关的定义判定．为此令
                  x₁(α₁－α₂)+x₂(α₂－α₃)+x₃(α₃－α₁)=0，
即 (x₁－x₃)α₁+(－x₁+x₂)α₂+(－x₂+x₃)α₃=0．
因α₁，α₂，α₃线性无关，故

因其系数矩阵行列式等于零，故上述方程组有非零解，即α₁－α₂，α₂－α₃，α₃－α₁线性相关．

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考研数学三

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