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[2007年] 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).
[2007年] 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).
admin
2019-04-28
38
问题
[2007年] 设向量组α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).
选项
A、α
1
一α
2
,α
2
一α
3
,α
3
一α
1
B、α
1
+α
2
,α
2
+α
3
,α
3
+α
1
C、α
1
—2α
2
,α
2
—2α
3
,α
3
—2α
1
D、α
1
+2α
2
,α
2
+2α
3
,α
3
+2α
1
答案
A
解析
解一 用观察易知,选项(A)中向量有关系(α
1
-α
2
)+(α
2
-α
3
)+(α
3
-α
1
)=0,故(A)中向量线性相关.
解二 由命题2.3.2.3判别之.s=3为奇数,k=3也为奇数,故(A)中向量线性相关.
(注:命题2.3.2.3 已知向量组α
1
,α
2
,…,α
s
(s≥2)线性无关,设β
1
=α
1
±α
2
,β
2
=α
2
±α
3
,…,β
s-1
=α
s-1
±α
s
,β
s
=α
s
±α
1
,其中s为向量组中的向量个数.又设上式中带负号的向量个数为k,则(1)当s与k的奇偶性相同时,向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性相关;(2)当s与k的奇偶性不同时,向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关.)
解三 用线性相关的定义判定.为此令
x
1
(α
1
-α
2
)+x
2
(α
2
-α
3
)+x
3
(α
3
-α
1
)=0,
即 (x
1
-x
3
)α
1
+(-x
1
+x
2
)α
2
+(-x
2
+x
3
)α
3
=0.
因α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故
因其系数矩阵行列式等于零,故上述方程组有非零解,即α
1
-α
2
,α
2
-α
3
,α
3
-α
1
线性相关.
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考研数学三
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