[2007年] 设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).

admin2019-04-28  21

问题 [2007年]  设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(    ).

选项 A、α1一α2,α2一α3,α3一α1
B、α12,α23,α31
C、α1—2α2,α2—2α3,α3—2α1
D、α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1

答案A

解析 解一  用观察易知,选项(A)中向量有关系(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0,故(A)中向量线性相关.
    解二  由命题2.3.2.3判别之.s=3为奇数,k=3也为奇数,故(A)中向量线性相关.
    (注:命题2.3.2.3  已知向量组α1,α2,…,αs(s≥2)线性无关,设β11±α2,β22±α3,…,βs-1s-1±αs,βss±α1,其中s为向量组中的向量个数.又设上式中带负号的向量个数为k,则(1)当s与k的奇偶性相同时,向量组β1,β2,…,βs线性相关;(2)当s与k的奇偶性不同时,向量组β1,β2,…,βs线性无关.)
        解三  用线性相关的定义判定.为此令
                     x11-α2)+x22-α3)+x33-α1)=0,
即    (x1-x31+(-x1+x22+(-x2+x33=0.
    因α1,α2,α3线性无关,故
因其系数矩阵行列式等于零,故上述方程组有非零解,即α1-α2,α2-α3,α3-α1线性相关.
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