2. 考研
  3. 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(n)； ④若r(

设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题： ①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)； ②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(n)； ④若r(

admin2018-01-12  44
问题 设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有四个命题：
①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)；
②若r(A)≥r(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；
③若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(n)；
④若r(A)=r(B)，则Ax=0与Bx=0同解。
以上命题中正确的有(    )
选项 A、①②。
B、①③。
C、②④。
D、③④。
答案B
解析 由于线性方程组Ax=0和Bx=0之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以②，④显然不正确，利用排除法，可得正确选项为B。
    下面证明①，③正确：
    对于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程组Bx=0含于Ax=0之中。从而Ax=0的有效方程的个数(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的个数(即r(B))，故r(A)≥r(B)。
    对于③，由于A，B为同型矩阵，若Ax=0与Bx=0同解，则其解空间的维数(即基础解系包含解向量的个数)相同，即
    n-r(A)=n-r(B)，
  从而r(A)=r(B)。
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考研数学一

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