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设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵.C为m×n矩阵. (1)计算PTDP,其中P=,(Ek为k阶单位矩阵); (2)利用(1)的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵.C为m×n矩阵. (1)计算PTDP,其中P=,(Ek为k阶单位矩阵); (2)利用(1)的结果判断矩阵B—CTA—1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2016-04-11
113
问题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵.C为m×n矩阵.
(1)计算P
T
DP,其中P=
,(E
k
为k阶单位矩阵);
(2)利用(1)的结果判断矩阵B—C
T
A
—1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
(1)P
T
DP=[*]。(2)矩阵B-C
T
A
-1
C是正定矩阵。证明:由(1)的结果知D合同于矩阵M=[*],又D为正定矩阵,所以M为正定矩阵.因M为对称矩阵,故B—C
T
A
-1
C为对称矩阵.由M正定,知对m维零向量x=(0,0,…,0)
T
及任意的n维非零向量y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
,有 [*] 故对称矩阵B—C
T
A
-1
C为正定矩阵.
解析
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考研数学一
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