已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解是( ).

admin2020-06-05  51

问题 已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解,α1,α2是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解是(    ).

选项 A、k1α1+k21+α2)+
B、k1α1+k21-α2)+
C、k1α1+k21+β2)+
D、k1α1+k21-β2)+

答案B

解析 对于选项(A),(C),因为

所以(A),(C)中无非齐次线性方程组Ax=b的特解,故均不正确.
对于选项(D),虽然(β2-β1)是齐次线性方程组Ax=0的解,但它与α1不一定线性无关,故(D)也不正确,从而选(B).
事实上,对于(B),由于α1,(α1-α2)与α1,α2等价(显然它们能够互相线性表示),故α1
1-α2)也是齐次线性方程组的一组基础解系,而由

可知
是齐次线性方程组Ax=b的一个特解,由非齐次线性方程组的通解结构定理知,(B)正确.
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