设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

admin2019-04-17  39

问题 设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。

选项

答案方法一:令F(x)=∫0xf(t)dt,0≤x≤π,有F(0)=0,由题设有F(π)=0。 又由题设∫0πf(x)cosxdx=0,用分部积分,有 0=∫0πf(x)cosxdx=∫0πcosxdF(x) =F(x)cosx|0π+∫0πF(x)sinxdx=∫0πF(x)sinxdx, 由积分中值定理知,存在ξ∈(0,π)使 0=∫0πF(x)sinxdx=F(ξ)sinξ.(π-0)。 因为ξ∈(0,π),sinξ≠0,所以推知存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)=0。再在区间[0,ξ]与[ξ,π]上对F(x)用罗尔定理,推知存在ξ1∈(0,ξ),ξ2∈(ξ,π)使F’(ξ1)=0,F’(ξ2)=0,即f(ξ1)=0,f(ξ2)=0。 方法二:令F(x)=∫0xf(t)dt,0≤x≤π,由∫0πf(x)dx=0可知F(0)=F(π)=0,则由罗尔定理可得:存在ξ1∈(0,π),使f(ξ1)=0。 若在区间(0,π)内f(x)仅有一个零点ξ1,则在区间(0,ξ1)与(ξ1,π)内f(x)异号。不妨设在(0,ξ1)内f(x)>0,在(ξ1,π)内f(x)<0。于是由∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,有 0=∫0πf(x)cosxdx-∫0πf(x)cosξ1dx=∫0πf(x)(cosx-cosξ1)dx [*] 当0<x<ξ1时,cosx>cosξ1,f(x)(cosx-cosξ1)>0;当ξ1<x<π时cosx<cosξ1,仍有f(x)(cosx-cosξ1)>0,得到:0>0。矛盾,此矛盾证明了f(x)在(0,π)仅有1个零点的假设不正确,故在(0,π)内f(x)至少有2个不同的零点。

解析
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