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设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫0πf(x)dx=0,∫0πf(x)cosxdx=0,试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0。
admin
2019-04-17
39
问题
设函数f(x)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(x)dx=0,∫
0
π
f(x)cosxdx=0,试证:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0。
选项
答案
方法一:令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,有F(0)=0,由题设有F(π)=0。 又由题设∫
0
π
f(x)cosxdx=0,用分部积分,有 0=∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
cosxdF(x) =F(x)cosx|
0
π
+∫
0
π
F(x)sinxdx=∫
0
π
F(x)sinxdx, 由积分中值定理知,存在ξ∈(0,π)使 0=∫
0
π
F(x)sinxdx=F(ξ)sinξ.(π-0)。 因为ξ∈(0,π),sinξ≠0,所以推知存在ξ∈(0,π),使得F(ξ)=0。再在区间[0,ξ]与[ξ,π]上对F(x)用罗尔定理,推知存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π)使F’(ξ
1
)=0,F’(ξ
2
)=0,即f(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)=0。 方法二:令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,0≤x≤π,由∫
0
π
f(x)dx=0可知F(0)=F(π)=0,则由罗尔定理可得:存在ξ
1
∈(0,π),使f(ξ
1
)=0。 若在区间(0,π)内f(x)仅有一个零点ξ
1
,则在区间(0,ξ
1
)与(ξ
1
,π)内f(x)异号。不妨设在(0,ξ
1
)内f(x)>0,在(ξ
1
,π)内f(x)<0。于是由∫
0
π
f(x)dx=0,∫
0
π
f(x)cosxdx=0,有 0=∫
0
π
f(x)cosxdx-∫
0
π
f(x)cosξ
1
dx=∫
0
π
f(x)(cosx-cosξ
1
)dx [*] 当0<x<ξ
1
时,cosx>cosξ
1
,f(x)(cosx-cosξ
1
)>0;当ξ
1
<x<π时cosx<cosξ
1
,仍有f(x)(cosx-cosξ
1
)>0,得到:0>0。矛盾,此矛盾证明了f(x)在(0,π)仅有1个零点的假设不正确,故在(0,π)内f(x)至少有2个不同的零点。
解析
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0
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