若f(x)连续，且f(x)+2∫0xf(t)dt=x2，求f(x)．

admin2019-08-27 5

问题若f(x)连续，且f(x)+2∫₀^xf(t)dt=x²，求f(x)．

选项

答案等式两边对x求导，得f＇(x)+2f(x)=2x，此为关于f(x)的一阶线性微分方程，P(x)=2，Q(x)=2x，故通解为 f(x)=e^-∫P(x)dx[∫Q(x)e^∫P(x)dxdx+C] =e^-∫2dx(∫2xe^∫2dxdx+c) =e^-2x(∫2xe^2xdx+C) =e^-2x(xe^2x—[*]e^2x+C) =x一[*]+Ce^-2x，原等式中，令x=O可得f(0)=0，代入上式可得C=[*]. 故f(x)=x一[*]e^-2x．

解析

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