求下列微分方程的通解或特解: (I)一4y=4x2,y(0)=,y’(0)=2;(Ⅱ)+2y=e—xcosx.

admin2017-08-18  28

问题 求下列微分方程的通解或特解:
(I)一4y=4x2,y(0)=,y’(0)=2;(Ⅱ)+2y=e—xcosx.

选项

答案(I)相应齐次方程的特征方程λ2一4=0,特征根λ=±2.零不是特征根,方程有特解 y*=ax2+bx+c,代入方程得 2a一4(ax2+bx+c)=4x2. [*]—4a=4,b=0,2a—4c=0[*]a=—1,c=[*] [*] 由初值y(0)=C1+C2[*],y’(0) =2C1—2C2=2 [*] 因此得特解为 [*] (II)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0,特征根λ1=一1,λ2=一2.由于非齐次项是 e—xcosx;,一1±i不是特征根,所以设非齐次方程有特解 y*=e—x(acosx+bsinx). 代入原方程比较等式两端e—xcosx与e—xsinx的系数,可确定出[*],所以非齐次方程的通解 为 y=C2e—x+C2e—2x+[*]e—x(sinx一cosx),其中C1,C2为任意常数.

解析
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