求下列微分方程的通解或特解： (I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．

admin2017-08-18 91

问题求下列微分方程的通解或特解：
(I)

一4y＝4x²，y(0)＝

，y’(0)＝2；(Ⅱ)

＋2y＝e^—xcosx．

选项

答案(I)相应齐次方程的特征方程λ²一4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解 y^*＝ax²＋bx＋c，代入方程得 2a一4(ax²＋bx＋c)＝4x²． [*]—4a＝4，b＝0，2a—4c＝0[*]a＝—1，c＝[*] [*] 由初值y(0)＝C₁＋C₂[*]，y’(0) ＝2C₁—2C₂＝2 [*] 因此得特解为 [*] (II)相应齐次方程的特征方程λ²＋3λ＋2＝0，特征根λ₁＝一1，λ₂＝一2．由于非齐次项是 e^—xcosx；，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y^*＝e^—x(acosx＋bsinx)．代入原方程比较等式两端e^—xcosx与e^—xsinx的系数，可确定出[*]，所以非齐次方程的通解为 y＝C₂e^—x＋C₂e^—2x＋[*]e^—x(sinx一cosx)，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学一

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求下列微分方程的通解或特解： (I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．

考研数学一

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