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  3. 求下列微分方程的通解或特解： (I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．

求下列微分方程的通解或特解： (I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．

admin2017-08-18  50
问题 求下列微分方程的通解或特解：
(I)一4y＝4x2，y(0)＝，y’(0)＝2；(Ⅱ)＋2y＝e—xcosx．
选项
答案(I)相应齐次方程的特征方程λ2一4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解 y*＝ax2＋bx＋c，代入方程得 2a一4(ax2＋bx＋c)＝4x2． [*]—4a＝4，b＝0，2a—4c＝0[*]a＝—1，c＝[*] [*] 由初值y(0)＝C1＋C2[*]，y’(0) ＝2C1—2C2＝2 [*] 因此得特解为 [*] (II)相应齐次方程的特征方程λ2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝一1，λ2＝一2．由于非齐次项是 e—xcosx；，一1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y*＝e—x(acosx＋bsinx)． 代入原方程比较等式两端e—xcosx与e—xsinx的系数，可确定出[*]，所以非齐次方程的通解 为 y＝C2e—x＋C2e—2x＋[*]e—x(sinx一cosx)，其中C1，C2为任意常数．
解析
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考研数学一

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