设A是n阶矩阵，证明方程组Aχ＝b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

admin2016-10-21 37

问题设A是n阶矩阵，证明方程组Aχ＝b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．

选项

答案必要性．对矩阵A按列分块A＝(α₁，α₂，…，α_n)，则 [*]b，Aχ＝b有解[*]α₁，α₂，…，α_n可表示任何n维向量b [*]α₁，α₂，…，α_n可表示e₁＝(1，0，0，…，0)^T，e₂＝(0，1，0，…，0)^T， …，e_n＝(0，0，0，…，1)^T [*](α₁，α₂，…，α_n)≥r(e₁，e₂，…，e_e)＝n [*]r(A)＝n．所以｜A｜≠0．充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故[*]b，Aχ＝b总有解．

解析

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