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试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
admin
2018-05-25
39
问题
试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。
选项
答案
由已知得y’=[*],故有 y’(1+x
2
)=1。 上式两边对x求n阶导数,当n≥3时(1+x
2
)
(n)
=0,因此由莱布尼茨公式 C
0
(y’)
(n)
(1+x
2
)+C
1
(y’)
(n—1)
(1+x
2
)’+C
2
(y’)
(n—2)
(1+x
2
)"=0, 即 (1+x
2
)y
(n+1)
+2nxy
(n)
+(n一1)ny
(n—1)
=0。 令x=0,得 y
(n+1)
(0)+(n一1)ny
(n—1)
(0)=0, 根据该递推关系,则 y
(n)
(0)=(1一n)(n一2)y
(n—2)
(0),n≥2。 由y(0)=0,y’(0)=1及上述递推公式,得 y
(2k)
(0)=0,k=1,2,…; y
(2k+1)
(0)=(一1)
k
(2k)!,k=0,1,2,…。
解析
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考研数学一
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