试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

admin2018-05-25 85

问题试求函数y=arctanx在x=0处的各阶导数。

选项

答案由已知得y’=[*]，故有 y’(1+x²)=1。上式两边对x求n阶导数，当n≥3时(1+x²)⁽ⁿ⁾=0，因此由莱布尼茨公式 C⁰(y’)⁽ⁿ⁾(1+x²)+C¹(y’)^(n—1)(1+x²)’+C²(y’)^(n—2)(1+x²)"=0，即 (1+x²)y⁽ⁿ⁺¹⁾+2nxy⁽ⁿ⁾+(n一1)ny^(n—1)=0。令x=0，得 y⁽ⁿ⁺¹⁾(0)+(n一1)ny^(n—1)(0)=0，根据该递推关系，则 y⁽ⁿ⁾(0)=(1一n)(n一2)y^(n—2)(0)，n≥2。由y(0)=0，y’(0)=1及上述递推公式，得 y^(2k)(0)=0，k=1，2，…； y^(2k+1)(0)=(一1)^k(2k)!，k=0，1，2，…。

解析

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考研数学一

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