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已知α1，α2及β1，β2均是3维线性无关向量组． (Ⅰ)若γ不能由α1，α2线性表出，证明α1，α2，γ线性无关． (Ⅱ)证明存在三维向量δ，δ不能由α1，α2线性表出，也不能由β1，β2线性表出．
已知α1，α2及β1，β2均是3维线性无关向量组． (Ⅰ)若γ不能由α1，α2线性表出，证明α1，α2，γ线性无关． (Ⅱ)证明存在三维向量δ，δ不能由α1，α2线性表出，也不能由β1，β2线性表出．
admin
2016-04-14
53
问题
已知α
1
，α
2
及β
1
，β
2
均是3维线性无关向量组．
(Ⅰ)若γ不能由α
1
，α
2
线性表出，证明α
1
，α
2
，γ线性无关．
(Ⅱ)证明存在三维向量δ，δ不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出．
选项
答案
(Ⅰ)设有数k
1
，k
2
，k
3
，使得 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
γ=0， 其中k
3
=0(若k
3
≠0，则[*](k
1
α
1
+k
2
α
2
)，这和γ不能由α
1
，α
2
线性表出矛盾)．则k
1
α
1
+k
2
α
2
=0．已知α
1
，α
2
线性无关，得k
1
=k
2
=0．故α
1
，α
2
，γ线性无关． (Ⅱ)α
1
，α
2
是2个3维向量，不可能表出所有3维向量，β
1
，β
2
也一样．若δ不能由α
1
，α
2
线性表出， 也不能由β
1
，β
2
线性表，则δ即为所求． 现设δ
1
不能由α
1
，α
2
线性表出，但可由β
1
，β
2
线性表示，设为δ
1
=x
1
β
1
+x
2
β
2
； 设δ
2
不能由β
1
，β
2
表出，但可由α
1
，α
2
线性表出，设δ
2
=y
1
α
1
+y
2
α
2
， 则向量δ=δ
1
+δ
2
既不能由α
1
，α
2
线性表出，也不能由β
1
，β
2
线性表出，向量δ即为所求． 因若δ=δ
1
+δ
2
=k
1
α
1
+k
2
α
2
， 则δ
1
=δ－δ
2
=(k
1
一y
1
)α
1
+(k
2
一y
2
)α
2
，这和δ
1
不能由α
1
，α
2
线性表出矛盾． (或δ
2
=δ+δ
2
(k
1
一x
1
)β
1
+(k
2
—x
2
)β
2
，这和δ
2
不能由β
1
，β
2
线性表出矛盾)
解析
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考研数学一
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