已知α1，α2及β1，β2均是3维线性无关向量组． (Ⅰ)若γ不能由α1，α2线性表出，证明α1，α2，γ线性无关． (Ⅱ)证明存在三维向量δ，δ不能由α1，α2线性表出，也不能由β1，β2线性表出．

admin2016-04-14 68

问题已知α₁，α₂及β₁，β₂均是3维线性无关向量组．
(Ⅰ)若γ不能由α₁，α₂线性表出，证明α₁，α₂，γ线性无关．
(Ⅱ)证明存在三维向量δ，δ不能由α₁，α₂线性表出，也不能由β₁，β₂线性表出．

选项

答案(Ⅰ)设有数k₁，k₂，k₃，使得 k₁α₁+k₂α₂+k₃γ=0，其中k₃=0(若k₃≠0，则[*](k₁α₁+k₂α₂)，这和γ不能由α₁，α₂线性表出矛盾)．则k₁α₁+k₂α₂=0．已知α₁，α₂线性无关，得k₁=k₂=0．故α₁，α₂，γ线性无关． (Ⅱ)α₁，α₂是2个3维向量，不可能表出所有3维向量，β₁，β₂也一样．若δ不能由α₁，α₂线性表出，也不能由β₁，β₂线性表，则δ即为所求．现设δ₁不能由α₁，α₂线性表出，但可由β₁，β₂线性表示，设为δ₁=x₁β₁+x₂β₂；设δ₂不能由β₁，β₂表出，但可由α₁，α₂线性表出，设δ₂=y₁α₁+y₂α₂，则向量δ=δ₁+δ₂既不能由α₁，α₂线性表出，也不能由β₁，β₂线性表出，向量δ即为所求．因若δ=δ₁+δ₂=k₁α₁+k₂α₂，则δ₁=δ－δ₂=(k₁一y₁)α₁+(k₂一y₂)α₂，这和δ₁不能由α₁，α₂线性表出矛盾． (或δ₂=δ+δ₂(k₁一x₁)β₁+(k₂—x₂)β₂，这和δ₂不能由β₁，β₂线性表出矛盾)

解析

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考研数学一

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已知α1，α2及β1，β2均是3维线性无关向量组． (Ⅰ)若γ不能由α1，α2线性表出，证明α1，α2，γ线性无关． (Ⅱ)证明存在三维向量δ，δ不能由α1，α2线性表出，也不能由β1，β2线性表出．

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