2. 考研
  3. 下列三个命题 ①设的收敛域为(－R，R)，则，的收敛域为(－R，R)； ②设幂级数在χ＝－1条件收敛，则它的收敛半径R＝1。 ③设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，则(an＋bn)χn的收敛半径R＝min(R1，R2)中正确的个数是

下列三个命题 ①设的收敛域为(－R，R)，则，的收敛域为(－R，R)； ②设幂级数在χ＝－1条件收敛，则它的收敛半径R＝1。 ③设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，则(an＋bn)χn的收敛半径R＝min(R1，R2)中正确的个数是

admin2016-07-20  49
问题 下列三个命题
    ①设的收敛域为(－R，R)，则，的收敛域为(－R，R)；
    ②设幂级数在χ＝－1条件收敛，则它的收敛半径R＝1。
    ③设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，则(an＋bn)χn的收敛半径R＝min(R1，R2)中正确的个数是
选项 A、0个．
B、1个．
C、2个．
D、3个．
答案B
解析 关于命题①：对幂级数anχn,逐项积分保持收敛区间不变，但收敛域可能起变化．如χn的收敛域为(－1，1)，但的收敛域是[－1，1)．
    关于命题②：若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确．
    记该幂级数的收敛半径为R．若R＞1，由于χ，｜χ｜＜R，anχn绝对收敛an(－1)n绝对收敛，与已知矛盾．若R＜1，由χ，｜χ｜＞R，anχn发散an(－1)n发散，也与已知矛盾．因此，R＝1．
    关于命题③：当R1≠R2时，R＝min(R1，R2)，于是要考察R1＝R2的情形．
    设有级数，，易求得它们的收敛半径均为R1＝R2＝1．但
的收敛半径为R＝2．因此命题不正确．
    综上所述，应选B．
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考研数学一

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