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下列三个命题 ①设的收敛域为(-R,R),则,的收敛域为(-R,R); ②设幂级数在χ=-1条件收敛,则它的收敛半径R=1。 ③设幂级数的收敛半径分别为R1,R2,则(an+bn)χn的收敛半径R=min(R1,R2)中正确的个数是
下列三个命题 ①设的收敛域为(-R,R),则,的收敛域为(-R,R); ②设幂级数在χ=-1条件收敛,则它的收敛半径R=1。 ③设幂级数的收敛半径分别为R1,R2,则(an+bn)χn的收敛半径R=min(R1,R2)中正确的个数是
admin
2016-07-20
76
问题
下列三个命题
①设
的收敛域为(-R,R),则,
的收敛域为(-R,R);
②设幂级数
在χ=-1条件收敛,则它的收敛半径R=1。
③设幂级数
的收敛半径分别为R
1
,R
2
,则
(a
n
+b
n
)χ
n
的收敛半径R=min(R
1
,R
2
)中正确的个数是
选项
A、0个.
B、1个.
C、2个.
D、3个.
答案
B
解析
关于命题①:对幂级数
a
n
χ
n
,逐项积分保持收敛区间不变,但收敛域可能起变化.如
χ
n
的收敛域为(-1,1),但
的收敛域是[-1,1).
关于命题②:若熟悉幂级数的收敛性特点立即可知该命题正确.
记该幂级数的收敛半径为R.若R>1,由于
χ,|χ|<R,
a
n
χ
n
绝对收敛
a
n
(-1)
n
绝对收敛,与已知矛盾.若R<1,由
χ,|χ|>R,
a
n
χ
n
发散
a
n
(-1)
n
发散,也与已知矛盾.因此,R=1.
关于命题③:当R
1
≠R
2
时,R=min(R
1
,R
2
),于是要考察R
1
=R
2
的情形.
设有级数,
,易求得它们的收敛半径均为R
1
=R
2
=1.但
的收敛半径为R=2.因此命题不正确.
综上所述,应选B.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/s0w4777K
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