已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cχ＝0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cχ＝0的基础解系．

admin2016-05-09 65

问题已知A是m×n矩阵，其m个行向量是齐次线性方程组Cχ＝0的基础解系，B是m阶可逆矩阵，证明：BA的行向量也是齐次方程组Cχ＝0的基础解系．

选项

答案由已知可得A的行向量是Cχ＝0的解，即CA^T＝0．则C(BA)^T=CA^TB^T＝0B^T＝0．可见BA的行向量是方程组Cχ＝0的解．由于A的行向量是基础解系，所以A的行向量线性无关，于是m＝r(a)＝n－r(C)．又因为B是可逆矩阵，r(BA)＝r(a)＝m＝n－r(C)，所以BA的行向量线性无关，其向量个数正好是n－r(C)，从而是方程组Cχ＝0的基础解系．

解析

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考研数学一

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