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已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cχ=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cχ=0的基础解系.
已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cχ=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cχ=0的基础解系.
admin
2016-05-09
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问题
已知A是m×n矩阵,其m个行向量是齐次线性方程组Cχ=0的基础解系,B是m阶可逆矩阵,证明:BA的行向量也是齐次方程组Cχ=0的基础解系.
选项
答案
由已知可得A的行向量是Cχ=0的解,即CA
T
=0.则C(BA)
T
=CA
T
B
T
=0B
T
=0.可见BA的行向量是方程组Cχ=0的解. 由于A的行向量是基础解系,所以A的行向量线性无关,于是m=r(a)=n-r(C). 又因为B是可逆矩阵,r(BA)=r(a)=m=n-r(C),所以BA的行向量线性无关,其向量个数正好是n-r(C),从而是方程组Cχ=0的基础解系.
解析
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考研数学一
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