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设A是m阶正定矩阵,B是m×n实矩阵,证明:BTAB正定r(B)=n.
设A是m阶正定矩阵,B是m×n实矩阵,证明:BTAB正定r(B)=n.
admin
2017-10-21
65
问题
设A是m阶正定矩阵,B是m×n实矩阵,证明:B
T
AB正定
r(B)=n.
选项
答案
“→”B
T
AB是n阶正定矩阵,则r(B
T
AB)=n,从而r(B)=n. “←”显然B
T
AB是实矩阵,并且(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
(B
T
)
T
=B
T
AB,因此,B
T
AB是实对称矩阵.因为r(B)=n,所以齐次线性方程组BX=0只有零解,即若X是n维非零实列向量,则BX≠0.再由A的正定性,得到X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)>0.由定义知,B
T
AB正定.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/COH4777K
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考研数学三
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