设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为________．

admin2021-07-27 44

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的秩为1，A中各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为________．

选项

答案f=3y₁²

解析 f在正交变换x=Qy下的标准形，即为以二次型矩阵的特征值为组合系数的3个变量的平方和，因此，求解的关键是找到A的全部特征值．注意到二次型矩阵为实对称矩阵，对实对称矩阵而言，二次型的秩即其矩阵A的秩等于1，知A仅含一个非零特征值，且λ=0为其二重特征值．另外，由已知条件A的各行元素之和为3，有

从而进一步确定了A的非零特征值为3．因此，可以得到λ=3，二次型f在正交变换x=Qy下的标准形为f=3y₁²．

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