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设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为1,A中各行元素之和为3,则f在正交变换x=Qy下的标准形为________.
设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为1,A中各行元素之和为3,则f在正交变换x=Qy下的标准形为________.
admin
2021-07-27
68
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的秩为1,A中各行元素之和为3,则f在正交变换x=Qy下的标准形为________.
选项
答案
f=3y
1
2
解析
f在正交变换x=Qy下的标准形,即为以二次型矩阵的特征值为组合系数的3个变量的平方和,因此,求解的关键是找到A的全部特征值.注意到二次型矩阵为实对称矩阵,对实对称矩阵而言,二次型的秩即其矩阵A的秩等于1,知A仅含一个非零特征值,且λ=0为其二重特征值.另外,由已知条件A的各行元素之和为3,有
从而进一步确定了A的非零特征值为3.因此,可以得到λ=3,二次型f在正交变换x=Qy下的标准形为f=3y
1
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CQy4777K
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考研数学二
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