[2018年] 过点(1，0，0)与(0，1，0)，且与曲面z=x2+y2相切的平面方程为( )．

admin2019-04-08 42

问题 [2018年] 过点(1，0，0)与(0，1，0)，且与曲面z=x²+y²相切的平面方程为( )．

选项 A、z=0与x+y-z=1
B、z=0与2x+2y一z=2
C、y=x与x+y一z=1
D、y=x与2x+2y一z=2

答案B

解析设切点的坐标为(x₀，y₀，x₀²+y₀²)，由题意可知切平面的法向量为 n=(2x₀，2y₀，一1)，则切平面的方程为
2x₀(x—x₀)+2y₀(y—y₀)一[z一(x₀²+y₀²)]=0 ，
即 2x₀x+2y₀y-z一(x₀²+y₀²)=0． (*)
将点(1，0，0)与(0，1，0)代入上式得

解得x₀=y₀=0或x₀=y₀=1．将x₀，y₀的值代入(*)式，可得
z=0或 2x+2y-z=2．仅B入选．

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考研数学一

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