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  3. (2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

(2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

admin2018-07-01  51
问题 (2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．
选项
答案记 fn(x)=xn+nx一1 当x＞0时，f’n(x)=nxn-1+n＞0 故fn(x)在[0，+∞)上单调增加． 而fn(0)=一1＜0，fn(1)=n＞0，由连续函数的介值定理知xn+nx一1=0存在惟一正实根xn· 由xnn+nxn一1=0与xn＞0知 [*] 故当α＞1时，[*] 而正项级数[*]收敛，所以当α＞1时，级数[*]收敛。
解析
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考研数学一

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