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(2004年)设有方程xn+nx一1=0,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数收敛.
(2004年)设有方程xn+nx一1=0,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根xn,并证明当α>1时,级数收敛.
admin
2018-07-01
45
问题
(2004年)设有方程x
n
+nx一1=0,其中n为正整数,证明此方程存在唯一正实根x
n
,并证明当α>1时,级数
收敛.
选项
答案
记 f
n
(x)=x
n
+nx一1 当x>0时,f’
n
(x)=nx
n-1
+n>0 故f
n
(x)在[0,+∞)上单调增加. 而f
n
(0)=一1<0,f
n
(1)=n>0,由连续函数的介值定理知x
n
+nx一1=0存在惟一正实根x
n
· 由x
n
n
+nx
n
一1=0与x
n
>0知 [*] 故当α>1时,[*] 而正项级数[*]收敛,所以当α>1时,级数[*]收敛。
解析
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考研数学一
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