(2004年)设有方程xn+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xn，并证明当α＞1时，级数收敛．

admin2018-07-01 38

问题 (2004年)设有方程xⁿ+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根xⁿ，并证明当α＞1时，级数

收敛．

选项

答案记 f_n(x)=xⁿ+nx一1 当x＞0时，f’_n(x)=nx^n-1+n＞0 故f_n(x)在[0，+∞)上单调增加．而f_n(0)=一1＜0，f_n(1)=n＞0，由连续函数的介值定理知xⁿ+nx一1=0存在惟一正实根x_n· 由x_nⁿ+nx_n一1=0与x_n＞0知 [*] 故当α＞1时，[*] 而正项级数[*]收敛，所以当α＞1时，级数[*]收敛。

解析

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考研数学一

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