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设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且 证明:存在一点η∈(0,1),使得f”η)=2.
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且 证明:存在一点η∈(0,1),使得f”η)=2.
admin
2022-05-20
67
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,f(0)=0,且
证明:存在一点η∈(0,1),使得f”η)=2.
选项
答案
令F(x)=f(x)-x
2
,在区间[0,1]上对F(x)应用拉格朗日中值定理,则存在一点ξ
1
∈(0,1),使得 F’(ξ
1
)=F’(ξ
1
)(1-0)=F(1)-F(0)=-1. 又由F’(x)=f’(x)-2x,知 [*] 故在区间[ξ
1
,1]上对F’(x)应用罗尔定理,可知存在一点η∈(ξ
1
,1)[*](0,1),使得F"(η)=0,即f"(η)=2.
解析
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考研数学三
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