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求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程。
求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程。
admin
2015-11-16
51
问题
求椭球面x
2
+2y
2
+z
2
=22上平行于平面x-y+2z=0的切平面方程。
选项
答案
解 令F(x,y,z)=x
2
+2y
2
+z
2
-22,则 F’
x
=2x,F’
y
=4y,F’
z
=2z。 设所求切平面与椭球面切于点(x
0
,y
0
,z
0
),则此切平面的法矢量为 n={2x
0
,4y
0
,2z
0
}。 此切平面与平面x-y+2z=0平行,故 [*]① 由于点(x
0
,y
0
,z
0
)在椭球面上,故 x
0
2
+2y
0
2
+z
0
2
=22。 ② 由式①、式②即得所求切点为(-2,1,-4)及(2,-1,4),将此两点的坐标代入切平面方程: x
0
(x-x
0
)+2y
0
(y-y
0
)+z
0
(z-z
0
)=0, 即得所求的切平面方程为 -2(x+2)+2(y-1)-4(z+4)=0 与 2(x-2)-2(y+1)+4(z-4)=0; 或化简为 x-y+2z+11=0 与 x-y+2z-11=0。
解析
[解题思路] 设出切点坐标(x
0
,y
0
,z
0
),求出切平面的法矢量,找出(x
0
,y
0
,z
0
)所满足的条件求出x
0
,y
0
,z
0
,即可写出切平面方程。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CUw4777K
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考研数学一
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