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  3. 求椭球面x2＋2y2＋z2＝22上平行于平面x－y＋2z＝0的切平面方程。

求椭球面x2＋2y2＋z2＝22上平行于平面x－y＋2z＝0的切平面方程。

admin2015-11-16  56
问题 求椭球面x2＋2y2＋z2＝22上平行于平面x－y＋2z＝0的切平面方程。
选项
答案解 令F(x，y，z)＝x2＋2y2＋z2－22，则 F’x＝2x，F’y＝4y，F’z＝2z。 设所求切平面与椭球面切于点(x0，y0，z0)，则此切平面的法矢量为 n＝{2x0，4y0，2z0}。 此切平面与平面x－y＋2z＝0平行，故 [*]① 由于点(x0，y0，z0)在椭球面上，故 x02＋2y02＋z02＝22。 ② 由式①、式②即得所求切点为(－2，1，－4)及(2，－1，4)，将此两点的坐标代入切平面方程： x0(x－x0)＋2y0(y－y0)＋z0(z－z0)＝0， 即得所求的切平面方程为 －2(x＋2)＋2(y－1)－4(z＋4)＝0 与 2(x－2)－2(y＋1)＋4(z－4)＝0； 或化简为 x－y＋2z＋11＝0 与 x－y＋2z－11＝0。
解析 [解题思路]  设出切点坐标(x0，y0，z0)，求出切平面的法矢量，找出(x0，y0，z0)所满足的条件求出x0，y0，z0，即可写出切平面方程。
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考研数学一

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