求,其中∑为下半球面∑:的上侧,a为大于零的常数.

admin2022-07-21  31

问题,其中∑为下半球面∑:的上侧,a为大于零的常数.

选项

答案方法一 用高斯公式 由于∑不是封闭曲面,不能直接利用高斯公式.设∑1为z=0(x2+y2≤a2)的下侧,用Ω表示∑和∑1围成的半球体区域,则∑和∑1构成Ω边界内侧,如图2-6-11.但被积函数在点(0,0,0)不存在,仍不能用高斯公式.注意到曲面∑上有x2+y2+z2=a2,所以 [*] 在∑和∑1围成的区域内运用高斯公式,得 [*] 由于∑1为下侧,故 [*] 其中Dxy是∑1在xOy面上的投影区域,于是 [*] 方法二 直接化为二重积分计算 令[*],由于∑是球面上侧,在xOy面上的投影区域为Dxy:x2+y2≤a2,所以 [*] 为计算I1需要将∑分为前后两部分[*],∑1为后侧,∑2为前侧,他们在yOz平面上的投影区域均为Dyz:y2+z2≤a2,z≤0,所以 [*]

解析
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