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求,其中∑为下半球面∑:的上侧,a为大于零的常数.
求,其中∑为下半球面∑:的上侧,a为大于零的常数.
admin
2022-07-21
31
问题
求
,其中∑为下半球面∑:
的上侧,a为大于零的常数.
选项
答案
方法一 用高斯公式 由于∑不是封闭曲面,不能直接利用高斯公式.设∑
1
为z=0(x
2
+y
2
≤a
2
)的下侧,用Ω表示∑和∑
1
围成的半球体区域,则∑和∑
1
构成Ω边界内侧,如图2-6-11.但被积函数在点(0,0,0)不存在,仍不能用高斯公式.注意到曲面∑上有x
2
+y
2
+z
2
=a
2
,所以 [*] 在∑和∑
1
围成的区域内运用高斯公式,得 [*] 由于∑
1
为下侧,故 [*] 其中D
xy
是∑
1
在xOy面上的投影区域,于是 [*] 方法二 直接化为二重积分计算 令[*],由于∑是球面上侧,在xOy面上的投影区域为D
xy
:x
2
+y
2
≤a
2
,所以 [*] 为计算I
1
需要将∑分为前后两部分[*],∑
1
为后侧,∑
2
为前侧,他们在yOz平面上的投影区域均为D
yz
:y
2
+z
2
≤a
2
,z≤0,所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/pLf4777K
0
考研数学二
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