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  3. 求，其中∑为下半球面∑：的上侧，a为大于零的常数．

求，其中∑为下半球面∑：的上侧，a为大于零的常数．

admin2022-07-21  65
问题 求，其中∑为下半球面∑：的上侧，a为大于零的常数．
选项
答案方法一 用高斯公式 由于∑不是封闭曲面，不能直接利用高斯公式．设∑1为z=0(x2+y2≤a2)的下侧，用Ω表示∑和∑1围成的半球体区域，则∑和∑1构成Ω边界内侧，如图2-6-11．但被积函数在点(0，0，0)不存在，仍不能用高斯公式．注意到曲面∑上有x2+y2+z2=a2，所以 [*] 在∑和∑1围成的区域内运用高斯公式，得 [*] 由于∑1为下侧，故 [*] 其中Dxy是∑1在xOy面上的投影区域，于是 [*] 方法二 直接化为二重积分计算 令[*]，由于∑是球面上侧，在xOy面上的投影区域为Dxy：x2+y2≤a2，所以 [*] 为计算I1需要将∑分为前后两部分[*]，∑1为后侧，∑2为前侧，他们在yOz平面上的投影区域均为Dyz：y2+z2≤a2，z≤0，所以 [*]
解析
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考研数学二

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