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设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)=e—x2—y2+xy2f(u,υ)dudυ,其中D:u2+υ2≤a2(a>0),则f(x,y)=________.
设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)=e—x2—y2+xy2f(u,υ)dudυ,其中D:u2+υ2≤a2(a>0),则f(x,y)=________.
admin
2022-01-06
45
问题
设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)=e
—x
2
—y
2
+
xy
2
f(u,υ)dudυ,其中D:u
2
+υ
2
≤a
2
(a>0),则f(x,y)=________.
选项
答案
e
—(x
2
+y
2
)
+π(1—e
—a
2
)xy
2
解析
注意
f(u,υ)dudυ为常数,记为A,由于xy
2
对u、υ来说为常数,因此对u,υ积分时可提到积分号外
f(x,y)=e
—x
2
—y
2
+Axy
2
.
求f(x,y)归结为求常数A.等式两边在D内积分得
d(x,y)dσ=
e
—(x
2
+y
2
)
dσ+A
xy
2
dσ ①
作极坐标变换
e
—(x
2
+y
2
)
dσ=∫
0
2π
dθ∫
0
a
e
—r
2
rdr= —πe
—r
2
|
0
a
=π(1—e
—a
2
又
xy
2
dσ=0 (D关于y轴对称,被积函数对x为奇函数),
将它代入①式
A=π(1—e
—a
2
).
因此 f(x,y)=e
—(x
2
+y
2
)
+π(1—e
—a
2
)xy
2
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Msf4777K
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