2. 考研
  3. 设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

admin2022-01-06  81
问题 设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．
选项
答案e—(x2+y2)+π(1—e—a2)xy2
解析 注意f(u，υ)dudυ为常数，记为A，由于xy2对u、υ来说为常数，因此对u，υ积分时可提到积分号外f(x，y)=e—x2—y2+Axy2．
求f(x，y)归结为求常数A．等式两边在D内积分得
d(x，y)dσ=e—(x2+y2)dσ+Axy2dσ        ①
作极坐标变换
e—(x2+y2)dσ=∫02πdθ∫0ae—r2rdr= —πe—r2|0a=π(1—e—a2
又xy2dσ=0  (D关于y轴对称，被积函数对x为奇函数)，
将它代入①式A=π(1—e—a2)．
因此    f(x，y)=e—(x2+y2)+π(1—e—a2)xy2．
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考研数学二

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