设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．

admin2022-01-06 78

问题设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e^—x²—y²+

xy²f(u，υ)dudυ，其中D：u²+υ²≤a²(a＞0)，则f(x，y)=________．

选项

答案e^—(x²+y²)+π(1—e^—a²)xy²

解析注意

f(u，υ)dudυ为常数，记为A，由于xy²对u、υ来说为常数，因此对u，υ积分时可提到积分号外

f(x，y)=e^—x²—y²+Axy²．
求f(x，y)归结为求常数A．等式两边在D内积分得

d(x，y)dσ=

e^—(x²+y²)dσ+A

xy²dσ ①
作极坐标变换

e^—(x²+y²)dσ=∫₀^2πdθ∫₀^ae^—r²rdr= —πe^—r²|₀^a=π(1—e^—a²
又

xy²dσ=0 (D关于y轴对称，被积函数对x为奇函数)，
将它代入①式

A=π(1—e^—a²)．
因此 f(x，y)=e^—(x²+y²)+π(1—e^—a²)xy²．

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考研数学二

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