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设A是n×n矩阵,对任何n维列向量X都有AX=0,证明:A=O.
设A是n×n矩阵,对任何n维列向量X都有AX=0,证明:A=O.
admin
2018-04-15
29
问题
设A是n×n矩阵,对任何n维列向量X都有AX=0,证明:A=O.
选项
答案
方法一 由于对任何X均有AX=0,取X=[1,0,…,0]
T
,由 [*] 得a
11
=a
21
=…=a
m1
=0. 类似地,分别取X为e
1
=[1,0,…,0]
T
,e
2
=[0,1,0,…,0]
T
,…,e
n
=[0,0,…,1]
T
代入方程,可证每个a
ij
=0,故A=O. 方法二 因对任何X均有AX=0,故有Ae
i
=0,i=1,2,…,n,合并成分块阵,得 [Ae
1
,Ae
2
,…,Ae
n
]=A[e
1
,e
2
,…,e
n
]=AE=A=O 方法三 因对任何X均有AX=0,故方程组的基础解系向量个数为n. 又r(A)+基础解系向量个数n=n(未知量个数),故有r(A)=0,即A=O.
解析
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考研数学一
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