设A是n×n矩阵,对任何n维列向量X都有AX=0,证明:A=O.

admin2018-04-15  29

问题 设A是n×n矩阵,对任何n维列向量X都有AX=0,证明:A=O.

选项

答案方法一 由于对任何X均有AX=0,取X=[1,0,…,0]T,由 [*] 得a11=a21=…=am1=0. 类似地,分别取X为e1=[1,0,…,0]T,e2=[0,1,0,…,0]T,…,en=[0,0,…,1]T代入方程,可证每个aij=0,故A=O. 方法二 因对任何X均有AX=0,故有Aei=0,i=1,2,…,n,合并成分块阵,得 [Ae1,Ae2,…,Aen]=A[e1,e2,…,en]=AE=A=O 方法三 因对任何X均有AX=0,故方程组的基础解系向量个数为n. 又r(A)+基础解系向量个数n=n(未知量个数),故有r(A)=0,即A=O.

解析
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