设随机变量，且协方差cov(X，Y)＝，则X与Y的联合分布为__________．

admin2016-01-25 5

问题设随机变量

，且协方差cov(X，Y)＝

，则X与Y的联合分布为__________．

选项

答案[*]

解析由X，Y所服从的分布即知
E(X)＝3／4， E(Y)＝1／2，且 E(XY)＝P(X＝1，Y＝1)．
今又已知cov(X，Y)＝1／8，从而可由
cov(X，Y)＝E(XY)—E(X)E(Y)＝1／8
求出 E(XY)＝P(X＝1，Y＝1)＝1／2．
有了这个数据，就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布．
由题设易知，E(x)＝

又
cov(x，Y)＝E(XY)一E(x)E(Y)＝E(XY)一

，
故E(XY)＝

．由于XY仅取0与1两个值，
E(XY)＝1.P(XY＝1)＝P(x＝1，Y＝1)＝

，
再根据联合分布与边缘分布的关系，即可求出X与Y的联合分布．事实上

由p₁₂＋p₂₂＝p₁₂＋1／2＝1／2，得到p₁₂＝0．由
p₁₁＋p₁₂＝p₁₁＋0＝1／4，即得p₁₁＝1／4．
又由p₁₁＋p₂₁＝1／4＋p₂₁＝1／2，得到p₂₁＝1／4．
于是得到其联合分布为

注意大家知道由联合分布可求出边缘分布，但仅由边缘分布求不出联合分布．如果在给出边缘分布的同时还附加某些条件，如相互独立，或条件分布或某些概率值，则可求出其联合分布．上例就是在给出边缘分布的条件下，还给出了一个概率值
P(X＝1，Y＝1)＝E(XY)＝1／2．
当然，这个值不是直接给出，而是要你推导的．

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