设A，B，A＋B，A﹣1＋B﹣1均为n阶可逆矩阵，则(A﹣1＋B﹣1)﹣1＝( )．

admin2020-06-05 20

问题设A，B，A＋B，A^﹣1＋B^﹣1均为n阶可逆矩阵，则(A^﹣1＋B^﹣1)^﹣1＝( )．

选项 A、A^﹣1＋B^﹣1
B、A＋B
C、A(A＋B)^﹣1B
D、(A＋B)^﹣1

答案C

解析方法一
(A^﹣1＋B^﹣1)^﹣1＝[B^﹣1(BA^﹣1＋E)]^﹣1＝[B^﹣1(B＋A)A^﹣1]^﹣1＝A(A＋B)^﹣1B
方法二
(A^﹣1＋B^﹣1)[A(A＋B)^﹣1B]＝(A＋B)^﹣1B＋B^﹣1A(A＋B)^﹣1B＝B^﹣1[B(A＋B)^﹣1B＋A(A＋B)^﹣1B]＝B^﹣1(B＋A)(A＋B)^﹣1B＝B^﹣1B＝E
方法三
取A＝E，B＝2E，则A^﹣1＝E，B^﹣1＝

，进而
(A^﹣1＋B^﹣1)^﹣1＝

又 A^﹣1＋B^﹣1＝

，A＋B＝3E，(A＋B)^﹣1＝(3E)^﹣1＝

，从而排除选项(A)，(B)，(D)，因此选(C)．

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