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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: (1)存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξf(ξ); (2)存在η∈(a,b),使得nf’(η)+f(η)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: (1)存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξf(ξ); (2)存在η∈(a,b),使得nf’(η)+f(η)=0.
admin
2019-09-04
43
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:
(1)存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξf(ξ);
(2)存在η∈(a,b),使得nf’(η)+f(η)=0.
选项
答案
(1)令φ(x)=e
-x
2
f(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0, 而φ’(x)=e
-x
2
[f’(x)-2xf(x)]且e
-x
2
≠0,故f’(ξ)=2ξf(ξ). (2)令φ(x)=xf(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在η∈(a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=xf’(x)+f(x),故ηf’(η)+f(η)=0.
解析
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考研数学三
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