2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明： (1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)； (2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明： (1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)； (2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．

admin2019-09-04  48
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：
    (1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)；
    (2)存在η∈(a，b)，使得nf’(η)+f(η)=0．
选项
答案(1)令φ(x)=e-x2f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0， 由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0， 而φ’(x)=e-x2[f’(x)-2xf(x)]且e-x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)． (2)令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0， 由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0， 而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．
解析
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考研数学三

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