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  3. [2015年] 函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．

[2015年] 函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．

admin2021-01-19  123
问题 [2015年]  函数f(x)=x2·2x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=_________．
选项
答案求多项式与初等函数乘积的高阶导数常用下述莱布尼茨公式求之： (uv)(n)=Cn0u0v(n)+Cn1u(1)v(n-1)+Cn2u(2)v(n-2)+…+Cnnu(n)v(D)， 也可用麦克劳林公式的系数求函数f(x)在x=0处的n阶导数． 解一 f(x)为多项式x2与指数函数2x之乘积．令u=x2，v=2x，由上述公式得到 f(n)(x)=Cn0(x2)(0)(2x)(n)+Cn1(x2)(1)(2x)(n-1)+Cn2(x2)(2)(2x)(n-2)+…+Cnn(x2)(n)(2x)(0) =xn·2x(ln2)n+Cn12x·2x(ln2)n-1+Cn22·2x(ln2)n-2+Cn30．(2x)．(ln2)n-3+0 =xn·2x(ln2)n+Cn12x·2x(ln2)n-1+Cn22．2x(ln2)n-2， 则f(n)(0)=Cn22·20(ln2)n-2=[*]．2(ln2)n-2=n(n一1)(ln2)n-2．
解析
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考研数学二

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