(1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分的定义; (2)证明可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)都存在,且 并

admin2019-06-28  42

问题 (1)叙述二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微及微分的定义;
    (2)证明可微的必要条件定理:设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f’x(x0,y0)与f’y(x0,y0)都存在,且
                  
  并请举例说明(1)之逆不成立.

选项

答案(1)定义:设z=f(x,y)在点(x00)的某邻域U内有定义,(x0+△x0,y0+△y)∈U. 增量 [*] 其中A,B与△x和△y都无关,[*]则称f(x,y)在点(x0,y0)处可微,并且[*]为z=f(x,y)在点(x0,y0)处的微分. (2)设z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则(*)式成立.令△y=0,于是 [*] 令△x→0,有[*]同理有[*]于是f’x(x0,y0)与f’x(x0,y0)存在,并且[*] 例如,对于函数[*]有 [*] 两个偏导数均存在.以下用反证法证f(x,y)在点(0,0)处不可微.若可微,则有 △f=f(△x,△y)一f(0,0)=0△x+0△y+o(ρ), [*] 但此式是不成立的.例如取△y=k△x,则 [*] 与k有关,(**)式不成立,所以不可微.

解析
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