2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上可导，且|f’(x)|≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：|f(0)|＋|f(2)|≤2M．

设f(x)在[0，2]上可导，且|f’(x)|≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：|f(0)|＋|f(2)|≤2M．

admin2021-08-31  7
问题 设f(x)在[0，2]上可导，且|f’(x)|≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：|f(0)|＋|f(2)|≤2M．
选项
答案由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)＝0， 由拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，2)，使得 f(c)－f(0)＝f’(ξ1)c， f(2)－f(c)＝f’(ξ2)(2－c)， 于是|f(0)|＝|f’(ξ1)|c≤Mc，|f(2)|＝|f’(ξ2)|(2－c)≤M(2－c)， 故|f(0)|＋|f(2)|≤2M．
解析
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考研数学一

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