首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为2y12+y22。
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为2y12+y22。
admin
2018-04-18
69
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
选项
答案
(Ⅰ)方法一：由题意可知， f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
。 方法二： f=(2a
1
2
+b
1
2
)x
1
2
+(2a
2
2
+b
2
2
)x
2
2
+(2a
3
2
+b
3
2
)x
3
2
+(4a
1
a
2
+2b
1
b
2
)x
1
x
2
+(4a
1
a
3
+b
1
b
3
)x
1
x
3
+(4a
2
a
3
+2b
2
b
3
)x
2
x
3
， 则f对应的矩阵为 [*] =2αα
T
+ββ
T
。 (11)设A=2αα
T
+ββ
T
，由于α，β正交，所以α
T
β=β
T
α=0，则 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α｜α｜
2
+ββ
T
α=2α， 所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量； Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
β+β｜β｜
2
=β， 所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2， 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值。 故f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CpX4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设α1，α2，α3，α4都是3维非零向量，则下列命题中错误的是
已知A是3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量组，满足Aα1=一α1—3α2—3α3，Aα2=4α1+4α2+α3，Aα3=一2α1+3α3．①求A的特征值．②求A的特征向量．③求A*一6E的秩．
设A是m×n矩阵，且方程组Ax=β有解，则
设向量组α1=[a11，a21，an1]T，α2=[a12，a22，…，an2]T，…，αs=[a1s，a2s，ans]T．证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)．
设A，B是n阶方阵，X，Y，b是n×1矩阵，则方程组有解的充要条件是()
已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．(1)写出二次型f的矩阵表达式；(2)用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．
实二次型f(x1，x2，…，xn)的秩为r，符号差为s，且f和－f合同，则必有()
设随机变量X服从参数λ=的指数分布，令Y=min(X，2)，求随机变量Y的分布函数F(y)．
假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为μ，标准差为4．求100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(-1，1)内的概率．
随机试题
慢性支气管炎并发肺气肿的早期病理生理改变是
A．包煎B．先煎C．后下D．另煎E．冲服带有绒毛类药入汤剂宜采用的煎服方法是
药品的长期稳定性试验至少需要观察
A．美托洛尔B．呋塞米C．卡托普利D．氨氯地平E．可乐定属于中枢性降压药的是
患者跌打损伤后，瘀血留于胁下，痛不可忍。治疗应选用
使尿量明显增多的方法有()。
下列房屋中，可以设定抵押权的是()。
在下列各项中，能够增加普通股股票发行在外的股数，但不改变公司资本结构的行为是()。
由于近期的干旱和高温，导致海湾盐度增加，引起了许多鱼的死亡。虾虽然可以适应高盐度，但盐度高也给养虾场带来了不幸。以下哪项如果为真，能够提供解释以上现象的原因？
过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点．O为抛物线的顶点，则△ABO是一个[]．
最新回复
(
0
)
