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  3. 设fn(χ)＝χ＋χ2＋…＋χn(n≥2)． (1)证明方程fn(χ)＝1有唯一的正根χn； (2)求χn．

设fn(χ)＝χ＋χ2＋…＋χn(n≥2)． (1)证明方程fn(χ)＝1有唯一的正根χn； (2)求χn．

admin2017-09-15  79
问题 设fn(χ)＝χ＋χ2＋…＋χn(n≥2)．
    (1)证明方程fn(χ)＝1有唯一的正根χn；
    (2)求χn．
选项
答案(1)令φn(χ)＝fn(χ)－1，因为φn(0)＝－1＜0，φn(1)＝n－1＞0，所以φn(χ)在(0，1)[*](0，＋∞)内有一个零点，即方程fn(χ)＝1在(0，＋∞)内有一个根． 因为φ′n(χ)＝1＋2χ＋…＋nχn-1＞0，所以φn(χ)在(0，＋∞)内单调增加，所以φn(χ)在(0，＋∞)内的零点唯一，所以方程fn(χ)＝1在(0，＋∞)内有唯一正根，记为χn． (2)由fn(χn)－fn+1(χn+1)＝0，得 (χn－χn+1)＋(χn2－χn+12)＋…＋(χnn－χn+1n)＝χn+1n+1＞0， 从而χn＞χn+1，所以{χn}n＝1∞单调减少，又χn＞0(n＝1，2，…)， 故[*]存在，设[*]＝A，显然A≤χn≤χ1＝1，由χn＋χn2＋…＋χnn＝1， 得[*]＝1，两边求极限得[*]－1，解得A＝[*]， 即[*]
解析
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考研数学二

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