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设fn(χ)=χ+χ2+…+χn(n≥2). (1)证明方程fn(χ)=1有唯一的正根χn; (2)求χn.
设fn(χ)=χ+χ2+…+χn(n≥2). (1)证明方程fn(χ)=1有唯一的正根χn; (2)求χn.
admin
2017-09-15
89
问题
设f
n
(χ)=χ+χ
2
+…+χ
n
(n≥2).
(1)证明方程f
n
(χ)=1有唯一的正根χ
n
;
(2)求
χ
n
.
选项
答案
(1)令φ
n
(χ)=f
n
(χ)-1,因为φ
n
(0)=-1<0,φ
n
(1)=n-1>0,所以φ
n
(χ)在(0,1)[*](0,+∞)内有一个零点,即方程f
n
(χ)=1在(0,+∞)内有一个根. 因为φ′
n
(χ)=1+2χ+…+nχ
n-1
>0,所以φ
n
(χ)在(0,+∞)内单调增加,所以φ
n
(χ)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程f
n
(χ)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为χ
n
. (2)由f
n
(χ
n
)-f
n+1
(χ
n+1
)=0,得 (χ
n
-χ
n+1
)+(χ
n
2
-χ
n+1
2
)+…+(χ
n
n
-χ
n+1
n
)=χ
n+1
n+1
>0, 从而χ
n
>χ
n+1
,所以{χ
n
}
n=1
∞
单调减少,又χ
n
>0(n=1,2,…), 故[*]存在,设[*]=A,显然A≤χ
n
≤χ
1
=1,由χ
n
+χ
n
2
+…+χ
n
n
=1, 得[*]=1,两边求极限得[*]-1,解得A=[*], 即[*]
解析
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考研数学二
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