设α,β都是n维列向量时,证明 ①αβT的特征值为0,0,…,0,βTα. ②如果α不是零向量,则α是αβT的特征向量,特征值为βTα.

admin2017-08-07  24

问题 设α,β都是n维列向量时,证明
①αβT的特征值为0,0,…,0,βTα.
②如果α不是零向量,则α是αβT的特征向量,特征值为βTα.

选项

答案 ①r(αβT)≤1,因此αβT的特征值为0,0,…,0,tr(αβT). 设α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T,则αβT的对角线元素为a1b1,a2b2,…,anbn,于是tr(αβT)=a1b1+a2b2+…+anbnTα. ②仍记A=αβT,则Aα=αβTα=(βTα)α,因此则α是A的特征向量,特征值为βTα.

解析
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