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[2003年] 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 {[f(x,y)-xy]/(x2+y2)2}=1, ① 则( ).
[2003年] 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且 {[f(x,y)-xy]/(x2+y2)2}=1, ① 则( ).
admin
2019-05-06
17
问题
[2003年] 已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,且
{[f(x,y)-xy]/(x
2
+y
2
)
2
}=1, ①
则( ).
选项
A、点(0,0)不是f(x,y)的极值点
B、点(0,0)是f(x,y)的极大值点
C、点(0,0)是f(x,y)的极小值点
D、根据所给条件无法判别点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
答案
A
解析
由极限与无穷小的关系知,在点(0,0)充分小的邻域内有
即 f(x,y)=xy+(1+α)(x
2
+y
2
)
2
, ③
其中
.又由式①及
(x
2
+y
2
)=0得到
即
于是f(x,y)-xy=(1+α)(x
2
+y
2
)
2
, 即 f(x,y)=xy+(x
2
+y
2
)
2
+α(x
2
+y
2
)
2
,
亦即 f(x,y)=f(x,y)=f(0,0)=xy+(x
2
+y
2
)
2
+o((x
2
+y
2
)
2
)
=xy+(x
2
+x
2
)
2
+o(r
2
) (r=x
2
+y
2
→0).
当y=x时,f(x,y)—f(0,0)=x
2
+(x
2
+y
2
)
2
+o(r
2
)>0 (0<r<σ).
当y=一x时,f(x,y)一f(0,0)=一x
2
+(x
2
+x
2
)
2
+o(r
2
)<0 (0<r<σ),其中σ是充分小的正数.可知,(0,0)不是f(x,y)的极值点.仅A入选.[img][/img]
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考研数学一
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