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[2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 {[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1， ① 则( )．
[2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 {[f(x，y)-xy]／(x2+y2)2}=1， ① 则( )．
admin
2019-05-06
38
问题
[2003年] 已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且
{[f(x，y)-xy]／(x
2
+y
2
)
2
}=1， ①
则( )．
选项
A、点(0，0)不是f(x，y)的极值点
B、点(0，0)是f(x，y)的极大值点
C、点(0，0)是f(x，y)的极小值点
D、根据所给条件无法判别点(0，0)是否为f(x，y)的极值点
答案
A
解析
由极限与无穷小的关系知，在点(0，0)充分小的邻域内有
即 f(x，y)=xy+(1+α)(x
2
+y
2
)
2
， ③
其中
．又由式①及
(x
2
+y
2
)=0得到
即
于是f(x，y)-xy=(1+α)(x
2
+y
2
)
2
， 即 f(x，y)=xy+(x
2
+y
2
)
2
+α(x
2
+y
2
)
2
，
亦即 f(x，y)=f(x，y)=f(0，0)=xy+(x
2
+y
2
)
2
+o((x
2
+y
2
)
2
)
=xy+(x
2
+x
2
)
2
+o(r
2
) (r=x
2
+y
2
→0)．
当y=x时，f(x，y)—f(0，0)=x
2
+(x
2
+y
2
)
2
+o(r
2
)＞0 (0＜r＜σ)．
当y=一x时，f(x，y)一f(0，0)=一x
2
+(x
2
+x
2
)
2
+o(r
2
)＜0 (0＜r＜σ)，其中σ是充分小的正数．可知，(0，0)不是f(x，y)的极值点．仅A入选．[img][/img]
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考研数学一
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