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  3. 设α是n维单位列向量，A=E－ααT．证明：r(A)＜n．

设α是n维单位列向量，A=E－ααT．证明：r(A)＜n．

admin2018-05-21  43
问题 设α是n维单位列向量，A=E－ααT．证明：r(A)＜n．
选项
答案A2=(E－ααT)(E－ααT)=E－2ααT+ααT．ααT，因为α为单位列向量，所以αTα=1，于是A2=A．由A(E－A)=O得r(A)+r(E－A)≤n，又由r(A)+r(E－A)≥r[A+(E－A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E－A)=n．因为E－A=ααT≠O，所以r(E－A)=r(ααT)=r(α)=1，故r(A)=n－1＜n．
解析
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考研数学一

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