设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得｜f’’(ξ)｜≥｜f(b)－f(a)｜．

admin2018-01-23 29

问题设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f’(a)＝f’(b)＝0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得
｜f’’(ξ)｜≥

｜f(b)－f(a)｜．

选项

答案由泰勒公式得 [*] 两式相减得f(b)－f(a)＝[*][f’’(ξ₁)－f’’(ξ₂)]，取绝对值得｜f(b)－f(a)｜≤[*][｜f’’(ξ₁)｜＋｜f’’(ξ₂)｜] (1)当｜f’’(ξ₁)｜≥｜f’’(ξ₂)｜时，取ξ＝ξ₁，则有｜f’’(ξ)≥[*]｜f(b)－f(a)｜； (2)当｜f’’(ξ₁)｜＜｜f’’(ξ₂)｜时，取ξ＝ξ₂，则有｜f’’(ξ)｜≥[*]｜f(b)－f(a)｜．

解析

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考研数学三

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设其中g(x)有二阶连续导数，且g(0)=1，g’(0)=一1讨论f’(x)在(一∞，+∞)上的连续性．
设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且证明存在ξ∈(0，3)，使f’’(ξ)=0．
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