设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵A,使B与A相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.

admin2019-04-22  33

问题 设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵A,使B与A相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.

选项

答案矩阵A的特征多项式为[*] 由此得A的特征值λ1=0,λ23=2.于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重),而矩阵B=(kE+A)2的特征值为k2和(k+2)2(二重). 令矩阵[*]由B~A.要使矩阵B为正定矩阵,只需其特征值全大于零.因此当k≠0且k≠一2时,B为正定矩阵.

解析 本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法.由矩阵A的特征值求出B的特征值,即可判断B的正定性.另一方法是利用正交变换化A为对角矩阵,代入B可解此题.
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