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设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵A,使B与A相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.
设矩阵,矩阵B=(kE+A)2,其中k为实数,求对角矩阵A,使B与A相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.
admin
2019-04-22
32
问题
设矩阵
,矩阵B=(kE+A)
2
,其中k为实数,求对角矩阵A,使B与A相似.并求k为何值时,B为正定矩阵.
选项
答案
矩阵A的特征多项式为[*] 由此得A的特征值λ
1
=0,λ
2
=λ
3
=2.于是矩阵kE+A的特征值为k和k+2(二重),而矩阵B=(kE+A)
2
的特征值为k
2
和(k+2)
2
(二重). 令矩阵[*]由B~A.要使矩阵B为正定矩阵,只需其特征值全大于零.因此当k≠0且k≠一2时,B为正定矩阵.
解析
本题主要考查实对称矩阵对角化的方法及正定矩阵的判定方法.由矩阵A的特征值求出B的特征值,即可判断B的正定性.另一方法是利用正交变换化A为对角矩阵,代入B可解此题.
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考研数学二
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