设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=1，且满足等式证明：当x≥0时，成立不等式e-x≤f(x)≤1。

admin2017-01-13 49

问题设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=1，且满足等式

证明：当x≥0时，成立不等式e^-x≤f(x)≤1。

选项

答案由(I)中结果知，当x≥0时f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)一e^-x，则 [*] 当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e^-x。综上所述，当x≥0时，不等式e^-x≤f(x)≤1成立。

解析

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